韦达定理共有哪几条?详细点
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/27 14:04:18
除方程根与系数之间的关系外,还有什么定理或应用
韦达定理
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程
在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积:
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理
AX2+BX+C=0
X1和X2为方程的两个跟
则X1+X2=-B/A
X1*X2=C/A
韦达定理应用中的一个技巧
在解有关一元二次方程整数根问题时,若将韦达定理与分解式αβ±(α+β)+1=(α±1)(β±1)结合起来,往往解法新颖、巧妙、别具一格.例说如下.
例1 已知p+q=198,求方程x2+px+q=0的整数根.
(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解:设方程的两整数根为x1、x2,不妨设x1≤x2.由韦达定理,得
x1+x2=-p,x1x2=q.
于是x1x2-(x1+x2)=p+q=198,
即x1x2-x1-x2+1=199.
∴(x1-1)(x2-1)=199.
注意到x1-1、x2-1均为整数,
解得x1=2,x2=200;x1=-198,x2=0.
例2 已知关于x的方程x2-(12-m)x+m-1=0的两个根都是正整数,求m的值.
解:设方程的两个正整数根为x1、x2,且不妨设x1≤x2.由韦达定理得
x1+x2=12-m,x1x2=m-1.
于是x1x2+x1+x2=11,
即(x1+1)(x2+1)=12.
∵x1、x2为正整数,
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