请教:数学问题

已知函数f(x)=根号下(1+2^x+a*4^x)的定义域为(-无穷大,1],求a的取值范围?(其中2^x是2的x次幂的意思)
答案究竟是a>=-3/4呢?还是就是a=-3/4?
不是这样的,有老师认为定义域不同于在区间上有意义!如果a=0,解这个函数的定义域是R,那就不符合题目意思了啊!

sqrt表示根号
已知函数f(x)=sqrt(1+2^x+a*4^x)的定义域为(-∞,1],求a的取值范围?
解：
既然定义域为(-∞,1],那么a的值只有1个，即方程1+2^x+a*4^x≥0的解集为(-∞,1]时a的值，而显然当x=1时，1+2^x+a*4^x=0，a=-3/4

变式：
已知函数f(x)=sqrt(1+2^x+a*4^x)的在(-∞,1]恒有意义,求a的取值范围?
解：
要使f(x)=sqrt(1+2^x+a*4^x)的在(-∞,1]恒有意义，令f(x)=sqrt(1+2^x+a*4^x)的定义域A，那么(-∞,1]∈A，也即方程1+2^x+a*4^x≥0的解集A，(-∞,1]∈A

[二楼用了讨论的方法，这无可辩驳，但是讨论非常麻烦，容易出错，而且讨论是山穷水尽的情况下不得已而为之，能不能避开讨论呢？当然可以，我介绍一种分离参数法。]
先令t=2^x,x∈(-∞,1]则当t∈(0,2]时g(t)=1+t+at^2≥0恒成立
方程中t与x纠缠不清，使得我们必须想办法把a分离出来，显然t=0时，a可以是任何值，当t≠0两边同除以t^2
(1/t)^2+1/t+a≥0 h(1/t)≥0 1/t∈[1/2,+∞] h(x)在x∈[1/2,+∞]上恒大于0，而h(x)=x^2+x+a，在[1/2,+∞]上是单调递增的，只要h(1/2)≥0成立即可，解得a≥-3/4

楼主在做题的时候，要善于发现这种问题，应该说多思考，把问题想透，数学就学好了。我在高一发现分离参数法后，还特意找了一些相同的题，用二次函数法和分离参数法分别试验其可行性与快捷性，结果获益匪浅，在高二学了不等式后你会对这方面题有一个更深入的了解。

是a>=-3/4
设2^x为t 则0<t<2
则f(x)=根号下(1+t+a*t^2)
假设t=2 1+2+4a>=0
a>=-3/4

设2^x=t,则4^x=t^2
因为定义域为(-无穷大,1]
所以t的范围为(0,2]