Happy Birthday to me.Thanks my mother.对吗?

不对吧
前面对的 后半句的thank应该是由I 我这个主语发出的
应该用原形
不过我觉得最好的表达形式是
I should/must thank my mother... 加个情态动词更好些

Happy birthday to me.没有问题
Thanks my mother.应该是Thanks to my mother.
但是其实你这样子说 完全没有什么不好