牟合方盖? 是什么概念

牟合方盖
球体体积是求积法其中一项须要研究的题目。在二千多年前，希腊数学家阿基米德（Archimedes）经已发现球体体积的公式，而且采用的方法更是使用了积分的概念。在中国则要到南北朝时代才正确地求出球体的体积，而使用的方法称为「牟合方盖」。

中国的数学典籍《九章算术》的「少广」章的廿三及廿四两问中有所谓「开立圆术」，「立圆」的意思是「球体」，古称「丸」，而「开立圆术」即求已知体积的球体的直径的方法。其中廿四问为：

「又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何？

开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。」

从中可知，在《九章算术》内由球体体积求球体直径，是把球体体积先乘16再除以9，然后再把得数开立方根求出，换言之

球体体积＝(9 x 直径3)/16

以现代的理解，这公式当然是错的，但以古时而言也不失为一个简单的公式来求出近似值。

当然这个结果对数学家而言是极之不满的，其中为《九章算术》作注的古代中国数学家刘徽便对这公式有所怀疑：

「以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多。互相通补，是以九与十六之率，偶与实相近，而丸犹伤多耳。」

即是说，用π≈3来计算圆面积时，则较实际面积要少；若按π：4的比率来计算球和外切直圆柱的体积时，则球的体积又较实际多了一些。然而可以互相通补，但按9：16的比率来计算球和外切立方体体积时，则球的体积较实际多一些。因此，刘徽创造了一个独特的立体几何图形，而希望用这个图形以求出球体体积公式，称之为「牟合方盖」。

所谓「牟合方盖」是当一正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对「牟合方盖」有以下的描述：

「取立方?八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸，高二寸。又复横规之，则其形有似牟合方盖矣。八?皆似阳马，圆然也。按合盖者，方率也。丸其中，即圆率也。」

其实刘徽是希望构作一个立体图形，它的每一个横切面皆是正方形，而且会外接於球体在同一高度的横切面的圆形