一道几何题........

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/09 11:28:55
如图,点C在线段AB上,以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形ACM和正三角形BCN,连接AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q，求证：PQ‖AB。图见：http://hi.baidu.com/%BE%FC%C6%E5%CC%EC%CF%C2/album/item/666fba1881f3800f34fa414f.html

∵∠MPQ是∠QPC的外角
∴∠MPQ=∠QCP+∠PQC
又∵∠PQN是∠PQC的外角
∴∠PQN=∠QPC+∠PCQ
∵AB是一条线段
∴∠ACB为平角
∵△AMC和△CNB都为正三角形
∴∠MCA=∠NCB=60°
∴∠PCQ=180°-∠MCA-∠NCB
=180°-60°-60°
=60°
∴∠QPC=∠PQC=(180°-∠PCQ)÷2
=60°
∵△NCB为正三角形
∴∠NCB=60°
∵∠PQC=∠NCB
∴PQ‖AB

证:因为ACM,BCN是正三角形
所以AC=AM,CB=CN,∠ACN=∠MCN+60=∠MCB(∠MCN=60)
所以△ACN≌△MCB
所以∠CBM=∠CNA
又由于CB=CN,∠NCB=∠NCM=60
所以△NCP≌△BQC
所以PC=CQ
又∠NCM=60
所以CPQ是等边三角形
所以∠CPQ=60=∠PCA
所以PQ=AB