已知f,g都是减函数,证明min(f,g)是减函数

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/03/29 16:31:55
已知f,g都是减函数,证明min(f,g)是减函数
一楼的朋友,你只说明了"在变量的某一范围"内,min(f,g)是减的,
而减函数是整体的概念.
比如:ctg(x),在每个[K*pi,(k+1)pi]都是减的,但是ctg(x)在R中没有单调性.

在变量的某一范围内必有 f<=g 或 f>=g
无论是哪一种情况,f,g都是单调递减的 所以min(f,g)是减函数

h(x)=min(f,g)=(f+g)/2-|f-g|/2;
设x2>x1,
h(x2)-h(x1)=
[(f(x2)+g(x2))/2-|f(x2)-g(x2)|/2]-[(f(x1)+g(x1))/2-|f(x1)-g(x1)|/2]
若g(x1)>=f(x1),g(x2)>=f(x2);h(x2)-h(x1)=f(x2)-f(x1)<=0;
若g(x1)>=f(x1),g(x2)<f(x2);h(x2)-h(x1)=g(x2)-f(x1)<=f(x2)-f(x1)<=0;
若g(x1)<f(x1),g(x2)<f(x2);h(x2)-h(x1)=g(x2)-g(x1)<=0;
若g(x1)<f(x1),g(x2)>=f(x2);h(x2)-h(x1)=f(x2)-g(x1)<=g(x2)-g(x1)<=0;
综上所述:h(x2)<=h(x1)因而min(f,g)是减函数.