凸函数和凹函数的性质各是什么?

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/03/29 03:45:02
凸函数和凹函数的性质各是什么?
别说什么二阶导数大于0小于0那个,我问的是关于凹凸函数的性质,结合不等式什么的那些

凸导数的增减性:单调递减
凹导数的增减性:单调递增


若f(x)在(a,b)有定义,在定义域内取x1,x2,非负数q1,q2,q1+q2=1
有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)
则f(x)在(a,b)内下凸,为凸函数。
否则相反

凸导数的增减性:先增 后 递减 有极大值
凹导数的增减性:先减 后 递增 有极小值

对任意定义域内的x1、x2
凸函数满足f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2
凹函数满足f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2

[f(a)+f(b)]/2>f[(a+b)/2] 凹函数
[f(a)+f(b)]/2<f[(a+b)/2] 凸函数

比如:设x1,x2,x3,...,xn>0,求证:
1/n *(1/x1 + 1/x2 + ...1/xn)≥n/(x1+x2+...+xn)

那么凹函数的性质[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n≥f[(x1+x2+……+xn)/n],可就用上了!
因为f(x)=1/x ,就是凹函数.

另一个凸函数的 [f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n ≤ f[(x1+x2+……+xn)/n]