关于一道高中数学证明题

来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/03/29 08:11:32
已知函数f(x)=x^3-x+c定义在区间〔0,1〕上,x1,x2属于〔0,1〕,x1不等于x2.
求证:〔f(x2)-f(x1)〕^2<4*(x2-x1)^2
求证:〔f(x2)-f()x1〕^2<1

第一问:因为X1,X2在(0,1)上所以X1,X2的平方以及X1*X2都大于0小于1,所以X1^2+X1*X2+X2^2-1大于-1小于2,所以(X1^2+X1*X2+X2^2-1)^2大于0小于4。因为X1不等于X2,所以(X2-X1)^2不为0,所以(X1^2+X1*X2+X2^2-1)^2*(X2-X1)^2 <4*(X2-X1)^2,左边即为(X2^3-X1^3+X1-X2)^2,即为[f(X2)-f(X1)]^2,所以:〔f(x2)-f(x1)〕^2<4*(x2-x1)^2
用时4min(涉及立方差公式)
第二问:〔f(x2)-f()x1〕^2即为(X2^3-X1^3+X1-X2)^2即为[X2*(X2^2-1)-X1*(X1^2-X1)]^2,不难看出X2*(X2^2-1),X1*(X1^2-1)均大于-1小于0,所以[X2*(X2^2-1)-X1*(X1^2-X1)]^2小于1,得证!