M=1+1/2+1/3+......1/n,n为正整数，求证：M永远不是正整数

M＝1+1/2+1/(根号3乘根号3)＋…＋1／(根号n乘根号n)
＜1+1/2+1／（根号2乘根号3）＋…＋1/（根号（n－1）乘根号n）
＝1+1/2+1／根号2－1／乘根号n
＜1+1/2+1／根号2
＜3
又因为M不等于1或2
得证

n=1，M是正整数

2楼显然错了
1/根号n乘根号(n+1)不是裂项成1/根号n-1/根号(n+1)
而是[1/根号n-1/根号(n+1)]再乘以1/[根号(n+1)-1/根号n]
学过高数就知道n趋向无穷大时M是发散级数，无穷大
设2^p是不大于n的2的最大幂，通分后各项分子的因数2的最大幂次依次为m1，m2，……，mn，显然m(2^p)<min(mi)=k (i不等于2^p)
即mi能被2^k整除但m(2^p)不能，因此各项分子之和不能2^k整除
而M的分母为n！能被2^k整除，因此分母不是分子的因数，即M不是整数