如何用数学方法证明债券的久期和凸性？

什么是凸性
　　久期本身也会随着利率的变化而变化。所以它不能完全描述债券价格对利率变动的敏感性，1984年Stanley Diller引进凸性的概念。

　　久期描述了价格-收益率曲线的斜率，凸性描述了曲线的弯曲程度。凸性是债券价格对收益率的二阶导数。

　　[编辑]凸性的计算

　　由债券定价定理1与4可知，债券价格-收益率曲线是一条从左上向右下倾斜，并且下凸的曲线。下图中b>a。

　　债券定价定理1：

　　债券价格与到期收益率成反向关系。

　　若到期收益率大于息票率，则债券价格低于面值，称为折价债券（discount bonds）；
　　若到期收益率小于息票率，则债券价格高于面值，称为溢价债券（premium bonds）；
　　若息票率等于到期收益率，则债券价格等于面值，称为平价债券（par bonds）。
　　对于可赎回债券，这一关系不成立。

　　债券定价定理4：

　　若债券期限一定，同等收益率变化下，债券收益率上升导致价格下跌的量，要小于收益率下降导致价格上升的量。

　　例：三债券的面值都为1000元，到期期限5年，息票率7%，当到期收益率变化时。

　　到期收益率(%) 6 7 8
　　价格 1042.12 1000 960.07
　　债券价格变化率(%) 4.21 0 -4.00
　　[编辑]凸性的性质
　　1、凸性随久期的增加而增加。若收益率、久期不变，票面利率越大，凸性越大。利率下降时，凸性增加。

　　2、对于没有隐含期权的债券来说，凸性总大于0，即利率下降，债券价格将以加速度上升；当利率上升时，债券价格以减速度下降。

　　3、含有隐含期权的债券的凸性一般为负，即价格随着利率的下降以减速度上升，或债券的有效持续期随利率的下降而缩短，随利率的上升而延长。因为利率下降时买入期权的可能性增加了。

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