3X+2Y-5=0 求X的平方+Y的平方的最小值

解法一:
已知3x+2y-5=0
即y=(5-3x)/2
则
x^2+y^2
=x^2+[(5-3x)/2]^2
=(13x^2-30x+25)/4
=(13/4)*(x-15/13)^2+25/13
当x=15/13时,(x^2+y^2)有最小值=25/13

解法二:
设x^2+y^2=s^2,则
x=s*cosa,y=s*sina
3x+2y-5=0
3s*cosa+2s*sina-5=0
3s*cosa=5-2s*sina
9s^2*cos^2a=25-20s*sina+4s^2*sin^2a
9s^2*(1-sin^2a)=25-20s*sina+4s^2*sin^2a
13s^2*sin^2a-20s*sina+25-9s^2=0
上方程未知数sina有实数解的条件是:它的判别式≥0,即
(-20s)^2-4*13s^2*(25-9s^2)≥0
9s^2*(13s^2-25)≥0
9s^2>0
s^2≥25/13
答:(x^2+y^2)的最小值=25/13

根号X的平方+Y的平方可看成是方程的一点到原点的距离.
即可简化为(0,0)到3X+2Y-5=0 的距离,
用点到直线距离公式
D=绝对值3*0+2*0-5/根号3平方+2平方=5/根号13

解答方法1：由3X+2Y-5=0 得到：Y=5/2-3X/2

Z=x^2+y^2=x^2+[5/2-3X/2]^2=13/4 * [(x-15/13)^2+100/169]>=13/4*100/169=25/13

所以最小值为25/13。

解答方法2：由3X+2Y-5=0 得到：Y=5/2-3X/2为一条直线
x^2+y^2 即是原点到该直线的最小距离的平方，设为Z。

转为求过原点的一条直线，与Y=5/2-3X/2垂直相交。交点与原点的距离的平方即是最小值。斜率K为Y=5/2-3X/2的斜率的负倒数：