UC知道数列难题求解
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/08 00:04:32
已知数列{a(n)},其中为常数a1=2,a(n+1)=a^2(n)+6a(n)+6
*如果看不明白，上面那个是：a下标(n+1) 等于 a下标n 整体的平方 加6乘以a下标n 加6
n是正整数
求
证数列{lg(a(n) +3)}是等比数列（这一问我会，不用写了）
设bn=[1/(a(n) -6)]-[1/(a^2(n) +6an)]，数列{bn}的前n项和为Tn，求证-5/16<=Tn<-1/4
这个看得更舒服：
http://photo12.hexun.com/p/2008/0413/188049/b_9C3269A4D359269AEE0C91CDF7124623.jpg
第一问求出an=5*10^2^(n-1)-3第二问a^2(n) +6an=a(n+1)-6
所以bn=[1/(a(n) -6)]-[1/(a^2(n) +6an)]
=[1/(a(n) -6)]-[1/(a(n+1)-6)]
......
b1=1/(a1-6)-1/(a2-6)
则Tn=1/(a1-6)-[1/(a(n+1)-6)]>=-1/4-1/16=-5/16
bn=1/(an-6) - 1/[a(n+1)-6]
所以Tn=1/（a1-6) - 1/[a(n+1)-6]
所以Tn=-1/4-1/[a(n+1)-6]
而由1问，a(n+1)-6=（a1+3)的2的n次方-9=5的2的n次方-9，它应该在n==1或无穷大时有最值
代入两个最值(正无穷和16)发现正好为所求（最值用一个放缩就行）
由于符号原因我很多过程和最后的分数计算无法打出，但希望我的回答能对你有所帮助
呵呵，其实我是高二的，不过这样的题也在学校做过~
由已知
bn=[1/(a(n) -6)]-[1/(a^2(n) +6an)]=[1/(a(n) -6)]-[1/(a(n＋1) －6)]，
所以Tn=[1/(a(1) -6)]-[1/(a(n+1) -6)]=-1/4-[1/(a(n+1) -6)];
根据第一问可以写出a(n)=5^(2^(n-1))-3,
所以Tn=-1/4-1/(5^(2^n)-9);
这是一个关于n的单调增函数，当n=1时取最小值－5/16,当n趋于无穷大时，Tn趋于－1/4
an=5^[2^(n-1)]-3
bn=[1/(a(n) -6)]-[1/(a^2(n) +6an)]
=[1/(a(n) -6)]-[1/(a(n+1) -6)]
Tn=[1/(a(1) -6)]-[1/(a(n+1) -6)]
=-1/4-1/[5^[2^(n-1)]-9]
当n→∝，Tn→-1/4
n≥2，-5/16≤-1/4-1/[5^[2^(n-1)]-9