UC知道一道数学题。。考考大家
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/28 18:46:33
有一堆桃子，5个猴子的共同财产，他们要平均分配，这天，第一个猴子来了，左等右盼，别的猴子都没来，他就把这些桃子平均分成5份，还多一个他觉得自己很辛苦，就把一个这多的桃子吃了，然后拿走了其中的一份，第2个猴子来了，他不知道刚刚发生的事，他就把剩下的这4份合在一起又分成了5份，还是多一个，他也是吃了多余的一个，拿了一份走了，以后每个猴子来都是如此办理的。请问这一堆桃子至少有多少个？最后至少剩多少个？
仅供娱乐，有点难度，望大家知难而上。
不要光有结果，还要有步骤
设A(n)为倒数第n个猴子来之前桃子的数目，A0=A(0)为最后剩余桃子数目。
A(n-1)=[A(n)-1]*4/5=4/5*A(n)-4/5
A0 = 4/5 * A1 - 4/5
4/5 * A1 = (4/5)^2 * A2 -(4/5)^2
(4/5)^2 * A2 = (4/5)^3 * A3 -(4/5)^3
......
(4/5)^(n-1) * A(n-1) = (4/5)^n * A(n) -(4/5)^n
相加，
A0 = (4/5)^n * A(n) - [(4/5)+(4/5)^2+ …… +(4/5)^n]
= (4/5)^n * A(n) - (4/5)*[1-(4/5)^n]/(1-4/5)
A0 + 4 = 4^n * A(n)/(5^n) + 4 * 4^n/(5^n)
A0 + 4 = [A(n)+4] * (4^n)/(5^n)
A(n)+4 = (A0 + 4)*(5^n)/(4^n)
因为A0,A(n)都是正整数，所以A(n)+4 能被5^n整除。
同样，A0+4能被4^n整除。
此题n=5，所以A0+4能被4^5=1024整除。
A0最小为1020。
当A0=1020时，A5 = 5^5 - 4 = 3121
所以桃子总数至少3121个，最后至少剩1020个。
设桃子总数为n
第一个猴子将桃子分成5份多一个,分完之后,剩下的4份桃子的总数为4(n-1)/5个.
第二个猴子将桃子分成5份多一个,分完之后,剩下的4份桃子的总数为4(4(n-1)/5-1)/5个.
第三个猴子将桃子分成5份多一个,分完之后,剩下的4份桃子的总数为4(4(4(n-1)/5-1)/5-1)/5个.
第四个猴子将桃子分成5份多一个,分完之后,剩下的4份桃子的总数为4(4(4(4(n-1)/5-1)/5-1)/5-1)/5个.
第五个猴子将桃子分成5份多一个,分完之后,剩下的4份桃子