数 两道奥赛题

1.小机器人A和B从甲处同时出发 相背而行 在直径为整数米的圆周上运动
15min内相遇七次 如果A的速度每分钟增加6米 则A和B在15min内相遇9次
问圆周直径至少是多少米？至多是多少米？（派=3.14）
2.某校组织了20次天文观测活动 每次有5名学生参加 任何两名学生至多同时参加过一次观测
证明：参加这些观测活动的学生数不少于21名
帮帮忙啊~~~~~~

1.设小机器人AB速度分别为X Y米/分钟,半径R
8倍2派R>=(X+Y)*15>=7倍2派R
10倍2派R>=(X+Y+6)*15>=9倍2派R
上面的同时加90得到
8倍2派R+90>=(X+Y+6)*15>=7倍2派R+90
与下式一致，则
8倍2派R+90>=9倍2派R 且10倍2派R>=7倍2派R+90
算出来是 9.5<=2R<=28.7 因为直径为整数米
所以直径至少10米，最多28米

2.设参加观测活动次数最多的学生A参加了a次观测,共有x名学生参加过天文观测活动.
由于有A参加的每次观测活动中,除了A,其他学生各不相同(这是因为任何2名学生都至多同时参加过一次观测),
所以至少有1（A同学）+4a个同学，x>=1+4a
又因为除A之外的同学参加次数<=a，总共的人次为5*20=100人次
所以4a*a+a>=100
解得a>=4.8
a为整数，所以a>=5
x>=4a+1>=21
得证

1.解:设小机器人的速度和为t，圆的周长为s.则
7s=<15t<8s (1)
9s=<15(t+6)<10s (2)
把(1)化简可得 7s+90=<15(t+6)<8s+90 (3)
由(2)(3)得
7s+90<10s 且9s<8s+90
所以可得 30 <s<90
所以半径 15/3.14 <d<45/3.14
2.:设参加观测活动次数最多的学生A参加了a次观测,共有x名学生参加过天文观测活动.
由于有A参加的每次观测活动中,除了A,其他学生各不相同(这是因为任何2名学生都至多同时参加过一次观测),<1>
另一方面,学生A参加观测的次数不小于每名学生平均观测次数.<2>
综合<1>,<2>,得.从而x≥21.