请教一道高中数学题~~~~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 07:53:45
若m是一个给定的正整数，如果两个整数a,b用m除所得的余数相同，则称a与b对m同余，记作a≡b[mod(m)],例如15≡3[mod(2)]，若2^2008≡r[mod(7)],则r的可能值为（ )
A 5 B 4 C 3 D 2

这个题目可以通过总结规律来解决
2/7 余 2
4/7 余 4
8/7 余 1
16/7 余2
32/7 余4
64/7 余1
128/7 余2
256/7 余4
512/7 余1

可以证明 2^n 与 2^(n+3) 除以7的余数相同。
2^(n+3)/7 = (2^n /7)* 2^3
= （商 + 余数/7）*2^3
= 商 *2^3 + (余数*2^3)/7
= 商 *2^3 + 余数*（7+1）/7
= 商*2^3 + 余数 + 余数/7

因此 2^n/7 的余数 一共3种，分别为2 4 1

2008/3 = 669 + 1/3
因此 2^2008 与 2^1 除以7 的余数相同
余数是 2

因此 r =2

2^3≡1[mod(7)],
2^2007≡1[mod(7)],
2^2008≡2[mod(7)],

2^3≡1[mod(7)]
2^2007≡1[mod(7)]
2^2008≡2[mod(7)]

选D