一道六年级奥数简算

1×3×5+3×5×7+5×7×9+…+101×103×105
=1*3*5+(3*5*7*9-1*3*5*7)/8+(5*7*9*11-3*5*7*9)/8+...+(101*103*105*107-99*101*103*105)/8
=1*3*5+(101*103*105*107-1*3*5*7)/8
=15+(116877705-105)/8
=15+14609700
=14609715
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原理:
n*(n+2)*(n+4)=[n(n+2)(n+4)(n+6)-(n-2)n(n+2)(n+4)]/8

原式=1*3*5+3*5*7+5*7*9+…+101*103*105
=（1*3*5+3*5*7+…+101*103*105）*8/8
={1*3*5*[7-（-1）]+3*5*7*（9-1）+…+101*103*105*（107-99）}/8
=[1*3*5*7-（-1）*1*3*5+3*5*7*9-1*3*5*7+…+101*103*105*107-99*101*103*105]/8
=[-（-1）*1*3*5+101*103*105*107]/8
=（15+101*103*105*107）/8
=116877720/8
=14609715

此题按通常数列求和的方法，是将其通项展开，得一自然数的立方数列与平方数列以及一个等差数列与一个常数数列之和。如果我们对自然数的立方和平方和数列不熟，一切从头做起，那将是极其繁复的。

现在我们考虑一个比所求数列更为高阶(反而比原数列 更为复杂)但结构与之相似的数列：

S′n=1·3·5·7＋3·5·7·9＋5·7·9·11＋…

＋(2n－1)(2n＋1)(2n＋3)(2n＋5)，

令 k=(2k－1)(2k＋1)(2k＋3)(2k＋5)(k=1，2，…，n)，

则 k＋1－ k=8(2k＋1)(2k＋3)(2k＋5)