去年一道保送生题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/09 20:38:13
若方程x^2+2px-q=0,(p,q是实数)没有实数根.
(1)求证:p+q<1/4
(2)试写出上述命题的逆命题
(3)判断(2)中的逆命题是否正确若正确请加以证明若不正确请举一反例说明

1.
(p-1/2)^2>=0,
-p^2<=1/4-p
因为方程没有实数根，所以
4p^2+4q<0
即q<-p^2<=1/4-p....=>....q<1/4-p
p+q<1/4
2.
如果p+q<1/4,方程x^2+2px-q=0没有实数根.
3.
不正确
因为q<1/4-p不能推出q<-p^2
反例就比较容易举了

（1）x^2+2px-q=0没有实数根
△=(2p)^2+4q＜0
p^2<-q
p+q<p-p^2=-(p-1/2) ^2+1/4＜1/4
（2）若p+q<1/4（p,q是实数)，则方程x^2+2px-q=0没有实数根
（3）不正确，p=q=0，x^2=0，x=0