我家的房子二楼有个约15平方米的阳台~

如果产权属个人所有。只要不影响居住区域的建筑风格并对房屋主体不造成损坏，只是个人房屋装饰装修的一部分。如房屋的所有权属单位，则应向产权单位告之（小区房屋必须向物业申报）。
按楼主的情况应该可以进行封闭。
祝你工程顺利！！！

不用申请封吧。我们家的就不用。

首先就看看别人家有没有封，这个倒不是违章建筑，如果说你们的开发商有这样的规定，破坏了小区的风格的话呢，就不可以。如果是普通的住宅都可以的。我们这里有露台的都可以封上。

不可以的。
这可能是露天平台，是不允许围墙盖瓦的。如果要搞，必须向规划部门申请，持准建证才能施工。