高3数学！~

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/18 09:03:27
已知定义在正实数集上的函数f(x)=1/2x^2+2ax,g(x)=3a^2Inx+b,其中a>0。设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同。
用a表示b，并求b的最大值。

f'(x)=x+2a
g'(x)=3a^2/x
该点处的切线相同，则斜率相等
x+2a=3a^2/x
x^2+2ax-3a^2=0
(x+3a)(x-a)=0
x=-3a,x=a
x>0,a>0
所以x=-3a舍去
x=a
代入1/2x^2+2ax=3a^2Inx+b
a^2/2+2a^2=3a^2lna+b
b=5a^2/2-3a^2lna
b'=5a-6alna-3a^2/a
=2a-6alna
=2a(1-3lna)=0
a>0
1-3lna=0
a=e^(1/3)
因为1-3lna当a>0是减函数
所以0<a<e^(1/3)时，b'>0.
a>e^(1/3)时，b'<0
所以0<a<e^(1/3)时，b=2a-6alna单调递增
a>e^(1/3)时，b=2a-6alna单调递减
所以a=e^(1/3)时b有最大值
b最大值=5a^2/2-3a^2lna
=5e^(2/3)/2-3e^(2/3)*(1/3)
=(3/2)*e^(2/3)