非欧式几何产生的原由？

曲面，如三角形内角和不一定等于180°

欧几里得的第五公设：
第五公设内容为：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。

第五公设又称为平行公设，可以导出下述命题：
通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线
也就是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设。
匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在