电源电压不变，当滑动变阻器接入电路的电阻为R时，

功率变为九分之一，那么通过R0的电流变为原来的三分之一。
3I(R0+R)=I(R0+R')
解得：R'=2R0+3R

4/9倍的R0

因为电压不变，于是用公式P=U^2 R T
因为串联电路电压于电阻成正比，于是当电阻R0在电路中抢到的电压变成原来的1/3倍的时候，功率就变成了原来的1/9，所以剩下的电压2U/3就被滑动变阻器抢去了，因为P=U^2 R T 有个平方，所以2/3变成了4/9

谢谢采纳：）

p=uI >> p=U的平方/R
在前后变化中电阻R相等可得：
P1/P2=U1的平方/U2的平方
所以9:1等于U1的平方：U2的平方
所以U1:U2=3:1
所以滑动变阻器分的电压增加了定值电阻R0的三分之二
由于在串联电路中电压比等于电阻比
所以滑动变阻器的电阻也增加了定值电阻R0的三分之二
至于是多少，好象缺乏条件吧？

阻值应该是2R0+3R
设电源电压为U，要求的滑动变阻器的阻值为R'
当定值电阻功率为1/9P0时，就有这样的关系：
R0×U^2/（R0+R')^2=1/9×R0×U^2/(R0+R)^2
得出R'=2R0+3R