UC知道四色原理的扩展问题，高手进
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/23 22:50:35
那么，在一个麦比乌斯圈上，需要多少种颜色？
在一个克莱因瓶上，需要多少种颜色？
对不起 是我疏忽了，请从两种条件下进行回答
条件一：纸张是有“厚度”的，染料无法透过纸张渗透到另一面，需要区分的区域也同样的，同一张纸的两边互不相干。
条件二：纸张是没有“厚度”的，染料必然要穿透纸面。需要区分的区域也是这样定义的。
我只要求给出答案就可以了，和“四色原理”一样，我只要结果不要求给出证明过程。。。
第一个回答我感到有不妥的地方，因为莫比乌斯带虽然只有一个面，却突破了二维空间。在第二种情况下，即纸张无“厚度”，染料穿透纸张的情况下，一个方形纸片的四个端点，ABCD，在AC连通的同时，莫比乌斯带能同时实现BD的连通。这在普通的二维平面上来说是办不到的。
LZ说的两种条件情况，结果都是 只需要4种颜色就可以。
我来说明：
首先，承认对于一个2维平面的单侧，需要且只需要4种颜色，就可以区分任意地图国界。---------------[基本定理]
[条件1：颜色不渗透的有厚度麦比乌斯圈]
在圈上任取一块小的区域，任意形状，这个区域可以看作一小块2维单侧平面区域。
在区域内我们可以任意画任意形状的地图，在这个区域内根据[基本定理]我们就可以知道至少需要4种颜色才能区分这个区域内的地图。
所以对于整个麦比乌斯圈，需要的颜色至少是4种。
那么我们来考虑至多是几种。
由于圈是有厚度的颜色不渗透的，有两个面，我们可以假象成整个圈是由纸壳扭成的（双层单面指背对背粘起来的纸壳）。现在我们把纸壳的两层分开得到一个纸圈
假如我们是蚂蚁，沿着纸圈走，我们会发现，这个纸圈是一条2维的道路，不过它特殊的地方仅仅是 我走一段路之后会走回原地，别的就没有任何特殊的地方了。
于是这个纸圈的性质，完全等价于 2维的一个环（两个同心圆中间的部分），那么这就又回到了2维平面上来。既然是维平面的部分，自然满足[基本定理]
所以需要且只需要4种颜色
[条件2：颜色渗透的麦比乌斯圈]
跟条件1的分析是类似的，首先肯定在小的区域上必须满足至少4色。
然后在大的区域上，我们就更好研究了。
我们同样把麦比乌斯圈的两层纸拆开。
由于颜色渗透，我们会发现 其中一半的部分 与另外一半的 完全相同
所以我们可以把其中一半给 裁减掉，当然为了满足边界条件，我们需要把剩下的一半的两个裁剪口对接。 对接后生成一个新的小的2维圈。
这个新的小的2维圈的性质与之前的麦比乌斯圈完全相同。
所以最后的结论仍然是 需要切只需要4种颜色。
上世纪90年代初，有过一套很有趣的书，叫 数学故事丛书
基本上都是用很浅显的方式去解释一些高等数学的问题
四色定理的拓展就在上面出现过
也包括莫比乌斯带和轮胎
看看能不能借到吧
我那套在老家。。。