征集2年来各省中考压轴题（不是中考题或这种题型也行的，要难的，越多越好）

如图,已知二次函数图象的顶点坐标为 ，直线 与该二次函数的图象交于 ， 两点，其中 点的坐标为 ， 点在 轴上．
（1）求 的值及这个二次函数的解析式；
（2） 为线段 上的一个动点（点 与 ， 不重合），过 作 轴的垂线与这个二次函数的图象交于 点，设线段 的长为 ，点 的横坐标为 ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（3） 为直线 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段 上是否存在一点 ，使得四边形 是平行四边形？若存在，请求出此时 点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1） 点 在直线 上，
． ．
设所求二次函数的关系式为 ．
点 在二次函数 的图象上，
， ．
所求二次函数的关系式为 ．即 ．
（2）设 ， 两点的纵坐标分别为 和 ．
．即 ．
（3）存在．
解法1：要使四边形 是平行四边形，必有 ．
点 在直线 上， 点 的坐标为 ， ．
即 ．解之，得 ， （不合题意，舍去）
当 点的坐标为 时，四边形 是平行四边形．
解法2：要使四边形 是平行四边形，必有 ．
设直线 的函数关系式为 ． 直线 经过点 ，
， ． 直线 的函数关系式为 ．
得 ．
解之，得 ， （不合题意，舍去）
当 点的坐标为 时，四边形 是平行四边形．

（2006 山西临汾课改）如图，直线 与 轴， 轴分别相交于点 ，点 ，经过 两点的抛物线 与 轴的另一交点为 ，顶点为 ，且对称轴是直线 ．
（1）求 点的坐标；
（2）求该抛物线的函数表达式；
（3）连结 ．请问在 轴上是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角形与 相似，若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：解：（1） 直线 与 轴相交于点 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ．
又 抛物线过 轴上的 两点，且对称轴为 ，
根据抛物线的对称性，
点 的坐标为 ．
（2） 过点 ，易知 ，