一朋友与他人打架，构成他人轻微伤，但是对方表哥在派出所上班构成刑事案件，该怎么样解决比较妥善

轻微伤不构成犯罪，但需要承担民事赔偿责任。
此案属于自诉案件，当事人不起诉，法院就不受理。公安部门无权抓人。
如果对方抓人，可以向该派出所上级主管公安局申请行政复议。

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先报案并自首，指责对方先挑起事端，我方有过分，再找介绍的朋友到公安机关调节。

第一、根据你提供的情况，你的朋友可能会治安拘留，并处以罚金。但是，对方如果也有责任，同样需要接受治安处罚；换句话说，公安局有可能抓人。
第二、轻微伤不构成刑事追诉标准，对方可能会提起人身损害赔偿的民事诉讼，到时候分清责任，分别承担比例。