S 1到正无穷1/X（1+X）^2 dx ，S为积分号

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/20 13:36:29
寻高手解此题要详细步骤！！！！
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答案为正无穷；
∫1/X（1+X）^2 dx=∫（1/x+2+x）dx
=lim（U->∞)[(lnu-ln1)+(2u-2)+(1/2*u
^2-1/2)
=lim（U->∞)(lnU+2U+(1/2)*U^2-5/2)
=∞

ln(2)-1/2

∫1/x(1+x)²dx
=∫1/x-1/(1+x)-1/(1+x)²dx
=∫1/xdx-∫1/(1+x)d(1+x)-∫1/(1+x)²d(1+x)
=lnx-ln(1+x)+1/(1+x)
=ln[x/(1+x)]+1/(1+x)
=ln[1/(1+1/x)]+1/(1+x)

当x→+∞时，ln[1/(1+1/x)]+1/(1+x)=ln1=0
当x=1时，ln[1/(1+1/x)]+1/(1+x)=ln(1/2)+1/2=1/2-ln2

∫<1，+∞>1/x(1+x)²dx=ln2-1/2

本题主要考察不定积分的计算，被积的分式函数的分母为两项乘积时，可考虑拆项，该题中
1/x-1/(1+x)²=[(1+x)²-x]/x(1+x)²=(1+x+x²)/x(1+x)²=1/x(1+x)²+x(1+x)/x(1+x)²=1/x(1+x)²+1/(1+x)
得1/x(1+x)²=1/x-1/(1+x)-1/(1+x)²