The storm left,having caused a lot of damage to this area.

1. 它应该是结果状语.结果状语一般分为两种:
用Ving的表自然而然,顺理成章的结果;
用不定式的表出乎意料的结果.
如: Many fans rushed to the airport, only to be told that the superstar had left eariler.
Soccer is played in most countried in Europe, making it the most popular sport.
2. 此处用了Ving的完成形式,同样表示动作的先后,即先caused a lot of damage to this area,然后再left.

是先发生的呀，先是caused a lot of damage to this area， 才left.

不是伴随状语，应该是结果状语

伴随状语表示说话时同时发生的动作或所处的状态。比如

the teacher came in, wearing a pair of glasses.

the teacher came in, with a book under her arm.

前一句表伴随的动作，是同时发生的，后一句表状态，当时是怎么样的。

这句话显然表示风暴带来的结果，所以用完成时，应该是结果状语从句。

顺便提一句，我不是好为人师的人，只是想说如果您是在上语法课的话讨论这些问题可以题解，但如果是想学语言的话，可以不太管语法。感觉这句话对就可以了

一般应该是causing，这种用法很少见（至少我是没见过）
如果这句话是对的，我想它应该是强调风暴造成的影响。
“用了完成式就表明这个状语动作先发生”，你这个描述用在过去完成时更合适。现在完成式，顾名思义，是针对现在说的。