求f(x)=arctan(2(x-1)/(1+4x))展开成x的幂级数

=========================第一步=========================
先证明：
ArcTan[(2 (-1 + x))/(1 + 4 x)] = ArcTan[2 x] - ArcTan[2]
【证】
令
α = ArcTan[(2 (-1 + x))/(1 + 4 x)]
β = ArcTan[2 x]
γ = ArcTan[2]

由于
Tan[α] = (2 (-1 + x))/(1 + 4 x)
Tan[β] = 2 x
Tan[γ] = 2

所以
Tan[β - γ] = (Tan[β] - Tan[γ])/(1 + Tan[β] Tan[γ])
= (Tan[β] - Tan[γ])/(1 + Tan[β] Tan[γ])
= (2 x - 2)/(1 + 2 × 2 x)
= Tan[α]

因而，在一个周期内有
β - γ = α

即
ArcTan[(2 (-1 + x))/(1 + 4 x)] = ArcTan[2 x] - ArcTan[2]

=========================第二步=========================
利用上面已经证明的结论，
f(x) = ArcTan[2 x] - ArcTan[2]
关键在于展开 ArcTan[2 x] ，
利用基本知识
ArcTan[2 x]
= 级数求和[((-1)^n × (2 x)^(2 n + 1))/(2 n + 1)]
= 级数求和[((-1)^n × 2^(2 n + 1) × x^(2 n + 1) )/(2 n + 1)]

所以展开式为
f(x) = - ArcTan[2]
+ 级数求和[((-1)^n × 2^(2 n + 1) × x^(2 n + 1) )/(2 n + 1)]

即：
x^n 的系数 a[n