巧证立方公式

这个用数学归纳法很好证，如果没学过就用下面这个方法吧
根据（n+1)^4=(n^2+2n+1)^2=n^4+4n^2+1+4n^3+2n^2+4n
=n^4++4n^3+6n^2+4n+1
2^4=(1+1)^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4=(2+1)^4=2^4+4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4=(3+1)^4=3^4+4*3^3+6*2^2+4*2+1
......
n^4=(n-1+1)^4=(n-1)^4+4*(n-1)^3+6*(n-1）^2+4*(n-1)+1
(n+1)^4=n^4++4n^3+6n^2+4n+1
以上各式相加 四次方项相互抵消，只剩（n+1)^4和1^4
(n+1)^4=1^4+4(1^3+2^3+...+n^3)+6*(1^2+2^2+....+n^2)+4*(1+2+...+n)+n
1^2+2^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6(此公式也可用此法证得）
1+2+...+n=n(n+1)/2带入
4Sn=(n+1)^4-[n+1+2n(n+1)+n(n+1)(2n+1)]
=(n+1)(n^3+3n^2+3n+1-1-2n-2n^2-n)
=n^2*(n+1)^2
Sn=n^2*(n+1)^2/4=(1+2+3+4+...+n)^2

数学归纳法