お忙しいところを、恐れ入りますが、どうかよろしくお愿い申し上げます。

个人感觉从分析句子结构的角度来讲省略了成分~ 而日本人从来都是这么说~ 所以~ 这已经成为了一种固定句型~
bsads朋友所说的

恐れ入ります=お邪魔します

阿紫感觉这样说有所遗漏~ 其实与 恐れ入ります 意思最相近的应该是すみません,因为恐れ入ります本身的意思就是对不起~ 只是要比すみません语感更强烈~

而句子中~
お忙しいところを作为的是状语,(在您百忙中),后面应该还有一个表示动作的词语比如:てまをかける（给您添麻烦）邪魔する(打扰您)

所以全句完整情况下应该是这样的:

お忙しいところを(お手间を挂けて)、恐れ入りますが、どうかよろしくお愿い申し上げます

お忙しいところを(在您百忙中)

お手间を挂けて(给您添麻烦)

恐れ入りますが(虽然很对不起)

どうかよろしくお愿い申し上げます(请您多多关照)

请参考~

没有省略，非常完整，其实可以省略为：
お忙しいところを、恐れ入りますが、どうかよろしくお愿いします。

お邪魔します是另外一种说法！

两句意思相近，恐れ入ります=お邪魔します

明白？

这样已经比较完整了。
这句话的意思是：百忙之中打扰您，真不好意思，还请多多关照！

---文国日语网

简単に书くと、

忙しいところ、すみませんが、宜しくお愿いします。

百忙之中打扰您真是不好意思，请多多包涵

百忙之中打扰您真是不好意思，请多多包涵。有省略