急急急急急急梯形ABCD中,AD平行于BC,AM=MB,DN=NC,求证:MN平行于BC,MN=1\2(BC+AD)

如果没有学过梯形中位线定理的话，可以这样：
作辅助线，延长BA、CD交于F，连接AC交MN于O。
由于AD//BC，所以AF：FB=FD：FC。又AM=MB,DN=NC。
所以AF：（FA+2MA）=FD：（FD+2ND）
整理得FA*ND=FD*MA，即FA：MA=FD：ND，所以MN//AD。AD//BC，所以MN//BC。
AM=MB,DN=NC所以M是AB的中点,N是CD中点。
所以MO是三角形ABC的中位线，所以MO=（1/2）AB。
NO是三角形CAD的中位线，所以NO=（1/2）AD。
所以MN=MO+NO=（1/2）AB+（1/2）AD=1\2(BC+AD)。

证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点P.
∵AD‖BC
∴∠ADN=∠PCN
∵N是CD的中点
∴DN=CN
∵∠AND与∠PNC是对顶角
∴∠AND=∠PNC
∴△ADN≌△PCN(ASA)
∴AN=NP，AD=PC
∴N是AP的中点

∵M是AB的中点
∴MN是△ABP的中位线
∴MN‖BP,MN=BP/2=(BC+CP)/2
∴MN=(AD+BC)/2

∵AD‖BC
∴MN‖AD‖BC

∴MN‖BC，且MN=(AD+BC)/2.

因为ABCD是一个梯形，所以两斜边中点的连线就是这个梯形ABCD的中位线，根据中位线的性质，中位线平行于上下边，且是底边的一半，就可得到

这是一个定理，中位线定理，MN为梯形的中位线，则有MN平行于BC,MN=1\2(BC+AD)