用曲面积分求流量

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 03:33:52
设稳定的 不可压缩的流体的速度场为
v(x,y,z)=xz i+y*x^2 j+z*y^2 k
∑是圆柱面x^2+y^2=1的外侧被平面z=0,z=1及x=0截取得位于第一 四卦限的部分。计算流体流向∑指定一侧的流量A。

A = ∫∫V·n dS
= ∫∫xzdydz + yx²dzdx + zy²dxdy

∑的法矢量与x轴夹角始终不大于π/2
则∫∫xzdydz = ∫∫z√(1-y²)dydz = ∫(0,1)dy∫(0,1)z√(1-y²)dz = π/8

y>0时,∑的法矢量与y轴成锐角
y<0时,∑的法矢量与y轴成钝角
则∫∫yx²dzdx = ∫∫x²√(1-x²)dzdx - ∫∫-x²√(1-x²)dzdx = 2∫∫x²√(1-x²)dzdx = 2∫(0,1)dz∫(0,1)x²√(1-x²)dx = π/8

因曲面∑垂直于xoy平面,故∫∫zy²dxdy = 0

求和,得到A = π/4