设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出an的表达式

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/24 14:43:25
设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,…．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．
请给出解答过程

为了避免混淆，我把下角标写在 <> 里

a<n+1>＝2a<n-1>＋n
a<n+2> = 2a<n> + n+1

两式相减
a<n+2> - a<n+1> = 2(a<n> - a<n-1>) + 1

a<n+2> - a<n+1> + 1 = 2*(a<n> - a<n-1> + 1)

设 b<n> = a<n> - a<n-1> + 1，则

b<n+2> = 2*b<n>

b<1> = a<1> - a<0> + 1 = 2 - 1 + 1 = 2

容易求出 a<2> = 2a<0> + 1 = 3
b<2> = a<2> - a<1> + 1 = 3 -2 + 1 = 2

b<3> = 2b<1> = 4
b<4> = 2b<2> = 4

b<5> = 2b<3> = 8
b<6> = 2b<4> = 8

2 2 4 4 8 8 16 16 …… 这个数列的通项为

b<2k-1> = 2^k
b<2k> = 2^k
k = 1, 2, 3

b<n> = a<n> - a<n-1> + 1
b<2k-1> = a<2k-1> - a<2k-2> + 1 = 2^k
b<2k> = a<2k> - a<2k-1> + 1 = 2^k

a<2k-1>