不等式问题10

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/24 13:39:34
已知a,b,c为直角三角形三边,c为斜边
求证:c^n>a^n+b^n (n>2)

很简单
不妨设 sina=a/c, 则cosa=b/c
原式子等价于
1> sin(a)^n+cos(a)^n
由于sinx, cosx <= 1且不能同时等于1
sin(x)^2 <= sin(x)^n
cos(x)^2 <= cos(x)^n

==>上面的等号不能同时取到所以
sin(a)^n+cos(a)^n < sin(a)^2+cos(a)^2＝1
证毕