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来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/03 09:20:22
过曲线C:y=x’3上P1(x1,y1) 作曲线C的切线L1,与曲线C相交于P2 (x2,y2),过P2作曲线C的切线L2与曲线C相交于P3(x3,y3),依次推类,可得到点列:P1(x1,y1) P2(x2,y2) P3(x3,y3)… Pn(xn,yn ).已知x1=y1=1
1. 求xn yn
2. 设Pn到直线 Ln+1的距离为 dn, 求证 1/d1+1/d2+1/d3+…+1/dn>(8/9)(1-1/2’n)
3. 设S△Pn+1Pn+2Pn+3=Sn, 试求lim(1/S1+1/S2+1/S3+…+1/Sn)的值
n→+∞

1.
C:y=x^3
y'=3x^2
设Pn(xn,yn)，P(n+1)(x(n+1),y(n+1))
则y(n+1)-yn=3(xn)^2*[x(n+1)-xn]
即[x(n+1)]^3-(xn)^3=3(xn)^2*[x(n+1)-xn]
[x(n+1)]^2+x(n+1)*xn-2(xn)^2=0
显然x(n+1)不等于xn
所以x(n+1)=-2xn
所以{xn}是公比为-2的等比数列
通项公式为：xn=(-2)^(n-1)
则yn=(xn)^3=(-2)^(3n-3)

2.
x(n+1)=(-2)^n
y(n+1)=(-2)^(3n)
Ln+1: y-(-2)^(3n)=3*4^n*[x-(-2)^n]
即：3*4^n*x-y+(-2)^(3n+1)=0
所以Pn到Ln+1的距离就是dn=27*2^(3n)/8*(根号下(9*4^(2n)+1)
1/dn=8*根号下(9*4^(2n)+1)/[27*2^(3n)]
所以只需证明：
∑[(根号下(9*4^(2n)+1)/3*2^3n]>1-1/2^n即可

而(根号下(9*4^(2n)+1)/3*2^(3n)>3*4^n/3*2^(3n)=1/2^n
∑1/2^n=1-1/2^n
证毕

3.
x(n+2)=(-2)^(n+1)
y(n+2)=(-2)^(3n+3)

x(n+3)=(-2)^(n+2)
y(n+3)=(-2)^(3n+6)

距离|Pn+2Pn+3| =3*2^(n+1)*根号下(1+9*2(4n+4))
Sn=1/2 *d(n+1)*|Pn+2Pn+3| =81*2^(4n)
1/Sn=1/81*2^(4n)
∑1/Sn=1/81 *(1/15)=1/1215