天気予报を信じて、伞、それも大きなやつを持ってちゃってさあ。

楼上的理解不够准确，

持ってちゃって 是 「持って行ってしまって」的
非常口语化的说法，表示完成和后悔。
（我相信天气预报带来了大雨伞，结果没小雨，
我后悔带雨伞来了（我希望我没带来雨伞））

てしまって＝てちゃって
表示完成了这个动作。

变化应该是这样的：
持ってしまうーー＞持っちゃうーー＞持っちゃって
所以我觉得原文有误！
当然，句子的意思基本上还是很明确的：
听信了天气预报，就特意带了一把大大的伞。（结果是没有下雨）

是啊，持ってちゃって＝持ってしまって、是指“带着（去）了”，用[て]形，是与后边的[さあ]有关。[さあ]是口语形式，没有什么实际意义。比如说：あのさあ、。但是放在最前面，就有意义了。