一道数学证明题，用数学语言回答完全加50分

若K，N属于正整数，集合X={K+1,K+2,K+3……K+N}，求证：无论K和N取何值，集合X中有且只有一个数可被N整除。
如果能用数学语言证明“只有一个”（证明唯一性），则加50分。说话算数。
对不起，大家的答案都太好了，我不知道将50分给谁。只好发起投票了。
不知道投完票后50分还能给么？

若有两个,设它们为K+I,K+J
其中I,J不同,且均不小于1,均不大于N
这样,因N整除K+I,K+J,故N也整除它们的差的绝对值 t=|J-I|
但t为不超过N-1的正整数,不可能!
从而至多一个

另一方面,设K被N除余N-S(这里S为不小于1且不大于N的正整数),则K+S能被N整除,而K+S在X中.

综上得证

先证明存在性，用反证法，假设对于某个n,不存在k使集合X中有且只有一个数可被N整除
则k+1,k+2，……k+n被n除的余数两两不同
根据抽屉原理，k+1,k+2，……k+n一共有n个元素，而“抽屉”至多有n个（因为余数小于除数），如果这n个“物品”放入n个“抽屉”，则必有一个“物体”放入“余数为0”的抽屉，与题设矛盾

再证必要性,假设k+p是n的倍数(1≤p≤n)
如果k+m也是p的倍数(不妨设m>p)
则必有m-p也是n的倍数
但m-p≠0,所以m-p最小为n
因而k+m=(k+p)+(m-p)>k+p+n>k+n
故不存在
若m<p时同理

综上所述命题得证

存在性
不妨设K=t(modN),0=<t<N
则K+N-t=N=0(modN)即K+N-t被N整除
由于1=<N-t<=N,所以K+N-t属于X

唯一性
假设X中有两个满足条件
设K1，K2被N整除，K1=K+a,K2=K+b，其中满足1<=a,b<=N,a不等于b
所以K1-K2=a-b=0(modN)
所以a=b(modN),
又因为1<=a,b<=N
所以a=b，所以K1=K2，这与假设矛盾
所以唯一性证明完毕

综上，命题成立

设K+1≡M(modN)
那么K+2≡M+1,(modN)
......
K+N≡M+N-1,(modN)
其中M可以的取值在 0到N-1的正整数