数学分析习题

利用f(xy)=f(x)f(y) 令x=y=1,结合不恒为0得到f(1)=1 。
先得到所有整数f(x)=x
然后得到整数分之一有f(x)=x
最后对所以分数有f(x)=x，即为f(x)=x对一切有理数x成立
对任意x>0,存在有理数c,x>c>0,有f(x)=f(x/2)f(x/2)>=0,f(x)=f(c)+f(x-c)>=f(c)=c>0.
若x>y,则f(x)=f(y)+f(x-y)>f(y).
对于Ⅴ f(x)=x对一切x∈R成立，使用极限，用有理数序列逼近任意一个无理数。

设函数f的定义域为R，不恒为0，且对一切x,y∈R满足
①f(x+y)=f(x)+f(y)②f(xy)=f(x)f(y)
证明：
Ⅰ f(1)=1
Ⅱ f(x)=x对一切有理数x成立
Ⅲ f(x)>0对一切x>0成立
Ⅳ 若x>y,则f(x)>f(y)
Ⅴ f(x)=x对一切x∈R成立

①f(x+y)=f(x)+f(y)②f(xy)=f(x)f(y)
f(1)=f(1)f(1)
f(1)=0或f(1)=1
若f(1)=0
f(x)=f(x)f(1)=0
不恒为0矛盾
所以f(1)=1得证

f(x+y)=f(x)+f(y)
f(kx)
=f(x+(k-1)x)
=f(x)+f[(k-2)x+x]
=f(x)+f[(k-2)x]+f(x)
=2f(x)+f[(k-2)x]
=……
＝kf(x)
即f(kx)=kf(x)
f(kx)=f(k)f(x)
所以对于整数k
f(k)=k
x=m/n
f(m(k/n))=f(km/n)=kf(m/n)
f(xy)=f(x)f(y)
1=f(1)=f(x(1/x))=f(x)f(1/x)
f(k/n)m=f(m)f(k/n)=f(m(k/n))=f(km/n