将f(x)=x展开（0，π）上的余弦级数，并由此证明：∑n=2，∞（1/(n-1)^2）=π^2/8

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/25 16:30:23

为了要把f展开为余弦级数，对f作偶式周期延拓
由公式的f的傅立叶系数为】
bn=0,n=1,2...
a0=积分(0,2)xdx=2,
an=2/2积分（0，2）xcosnpaix/2dx
=4(cosnpai-1)/n^2pai^2
=4[(-1)^n-1]/n^2pai^2,n=1,2....
所以当x(0,2),由收敛定理得到
f(x)=x
=1+∑-8/(2k-1)^2pai^2 *cos(2k-1)paix/2
=1-8/pai^2(cospaix/2+1/3^2*cos3paix/2+1/5^2cos5paix/2+...)

证明：令f(1)=1
=1-8/pai^2(cospaix/2+1/3^2*cos3paix/2+1/5^2cos5paix/2+...)
整理有：
：∑n=2，∞（1/(n-1)^2）=π^2/8

不好意思，不太清楚

f(x）R上奇函数，f(x)+f(x-1)=1,当x属于[0，1]时f（x）=x^2,判断当x属于[1，2]时，f(x)= -x^2+2x真假 f（x）是R上奇函数，当x〈0时，f（x）=x^2-x-2，求f（x）的解析式 f(x)+f（(x-1)/x）=1+x (x不等于0,1)求f(x) 设定义在R上的函数f（x）对于任意x，y都有f(x+y）＝f(x)+f(y)成立，且f(1)=-2,当x>0时，f(x)<0 f(X)=X^X在（1，0）上的最小值 若f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且f(x/y)=f(x)-f(y),若f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/x)<2. 已知f(x)是R上的增函数，令F(x)=f(1-x)-f(3+x)，则F(x)是R上的（ ） 已知f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x^2+2x 定义在R上的函数f（x）满足：f(x)=f(4-x)且f（2-x）+f(x-2)=0,则f(2008)=? 定义在R上的函数f（x)满足f(-x)=-f(x),且x＞0时，f(x)=x|x-2|, 求x＜0时，f(x)的解析式。