UC知道贝蒂定理，高手进
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 17:16:01
贝蒂定理：设a、b是正无理数且 1/a +1/b =1。记P={ [na] | n为任意的正整数}，Q={ [nb] | n 为任意的正整数}，则P与Q是Z+的一个划分，即P∩Q为空集且P∪Q为正整数集合Z+。
证明：因为a、b为正且1/a +1/b=1，则a、b>1，所以对于不同的整数n，[na]各不相同，类似对b有相同的结果。因此任一个整数至多在集合P或Q中出现一次。
现证明P∩Q为空集；(反证法)假设k为P∩Q的一个整数，则存在正整数m、n使得[ma]=[nb]=k。即k < ma、nb<k+1，等价地改写不等式为
m/(k+1)< 1/a < m/k及n/(k+1)< 1/b < n/k。相加起来得 (m+n)/(k+1) < 1 < (m+n)/k，即 k < m+n < k+1。这与m、n为整数有矛盾，所以P∩Q为空集。
现证明Z+=P∪Q；已知P∪Q是Z+的子集，剩下来只要证明Z+是P∪Q的子集。(反证法)假设Z+\(P∪Q)有一个元素k，则存在正整数m、n使得{{{{{{{{{{{{{[ma]< k <[(m+1)a]、[nb]< k <[(n+1)b]。}}}}}}}}}}}}} 由此得ma < k ≤[ (m+1)a]-1<(m+1)a -1，类似地有nb < k ≤[ (n+1)b]-1<(n+1)b -1。等价地改写为 m/k < 1/a < (m+1)/(k+1)及n/k < 1/b < (n+1)/(k+1)。两式加起来，得
(m+n)/k < 1 < (m+n+2)/(k+1)，即m+n < k < k+1 < m+n+2。这与m, n, k皆为正整数矛盾。所以Z+=P∪Q。
上述是它的证明方法，其中标出很多大括号的部分是我觉得有问题的部分，如果k=1怎么办
有兴趣的人看一看，高手进
二楼的能否说得再详细些
各位积极点儿吧
证明：因为a、b为正且1/a +1/b=1，则a、b>1，所以对于不同的整数n，[na]各不相同，类似对b有相同的结果。因此任一个整数至多在集合P或Q中出现一次。
现证明P∩Q为空集；(反证法)假设k为P∩Q的一个整数，则存在正整数m、n使得[ma]=[nb]=k。即k < ma、nb<k+1，等价地改写不等式为
m/(k+1)< 1/a < m/k及n/(k+1)< 1/b < n/k。相加起来得 (m+n)/(k+1) < 1 < (m+n)/k，即 k < m+n < k+1。这与m、n为整数有矛盾，所以P∩Q为空集。
现证明Z+=P∪Q；已知P∪Q是Z+的子集，剩下来只要证明Z+是P∪Q的子集。(反证法)假设Z+\(P∪Q)有一个元素k，则存在正整数m、n使得{{{{{{{{{{{{{[ma]< k <[(m+1)a]、[nb]< k <[(n+1)b]。}}}}}}}}}}}}} 由此得ma < k ≤[ (m+1)a]-1<(m+1)a -1，类似地有nb < k ≤[ (n+1)b]-1<(n+1)b -1。等价地改写为 m/k < 1/a < (m+1)/(k+1)及n/k < 1/b < (n+1)/(k+1)。两式加起来，得
(m+n)/k < 1 < (m+n+2)/(k+1)，即m+n < k < k+1 < m+n+2。这与m, n, k皆为正整数矛盾。所以Z+=P∪Q。
上述是它的证明方法，其中标出很多大括号的部分是我觉得有问题的部分，如果k=1怎么办
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二楼的能否说得再详细些
各位积极点儿吧
k不可能等于1
因为1必定属于P或者Q
因为a，b不可能同时大于2
所以a，b中必定有一个小于2
不妨设a小于2
则1属于P
汗.你是初三的么.不要让我很惭愧...
应该是对的，但是不好说明。如果没有满足大括号里不等式的m和n的话，k就要属于P并Q了。
你想像一下，形如[ma]的数把所有数划分成一个一个的区间，因为k不可能是某个区间的端点吧，所以呢，就应该在某个区间里面咯，这个区间应该形如([ma],[(m+1)a])吧。这样还算清楚吧。