写出小于20的三个自然数,使他它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质.
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/06/02 01:52:49
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6 11(13)(19)==
【题目】写出小于20的三个自然数,使它们的最大公约数是1,但其中任意两个数都不互质。
【解析】
为方便起见,我们用a、b、c表示所写的三个自然数,那么a、b、c应满足以下条件:
a、b、c都是小于20的自然数,(a,b,c)=1,
同时(a,b)>1,(a,c)>1,(b,c)>1。
从条件(a,b,c)=1出发,很容易得出a、b、c三个数不能同时取偶数。
从条件(a,b)>1,(a,c)>1,(b,c)>1出发,也很容易发现a、b、c三个数也不能同时在1,2,3,5,7,11,13,17,19中分别取值。
另外a、b、c三个数中的任一个不能取20以内的质数。如果假设a是质数,为保证(a,b)>1,(a,c)>1,那么b、c都应是a的倍数,即b=aq,c=aq2,这一来(a,b,c)=a>1,与(a,b,c)=1矛盾。
另外a、b、c三个数中的任意两个数,其中一个不能是另一个的倍数。如果a是b的倍数,那么有(a,b)=b。为保证(b,c)=d>1,便有(a,b,c)=d>1,与(a,b,c)=1矛盾。
通过上面分析我们可以看出,a、b、c三个数只有两种可能:一是两偶一奇,一是两奇一偶,且这里的奇数不能是1和质数。
先来讨论两奇一偶的情况。20以内的奇数除了1和质数外,只有9和15两个数,20以内的偶数除了2之外,还有4,6,8,10,12,14,16,18八个数。因为18是9的倍数,而(9,15)=3,所以偶数不能取18。又因为(9,4)=1,(9,10)=1,(9,14)=1,(9,16)=1,所以偶数不能取4、10、14、16,只剩下6和12这两个偶数,但是(6,9,15)=3,(12,9,15)=3,与(a,b,c)=1矛盾,故两奇一偶的情况不会出现。
再来研究两偶一奇的情况。一个奇数如果是9,根据上面的分析,另外的两个偶数不能是4、10、14和16,而18又是9的倍数,也不行,只剩下6和12,而(6,9,12)=3,与(a,b,c)=1矛盾,故奇数是9时无答案。
当一个奇数是15时,因为(4,15)=1,(14,15)=1,(15,16)