数列 a(n+1)=2(an)+√（3an^2+1）

我把下角标写在 <> ，以免混淆

a<n+1> = 2a<n> + √（3a<n>^2+1）

移项
a<n+1> - 2a<n> = √（3a<n>^2+1）

两边平方
(a<n+1> - 2a<n>)^2 = 3a<n>^2 + 1

展开整理
a<n+1>^2 - 4a<n>a<n+1> + 4a<n>^2 = 3a<n>^2 + 1
a<n+1>^2 - 4a<n>a<n+1> + a<n>^2 = 1

根据上面这个式子，同样有
a<n+2>^2 - 4a<n+1>a<n+2> + a<n+1>^2 = 1

两个式子相减
a<n+2>^2 - a<n>^2 -4a<n+1>*(a<n+2> - a<n>) = 0

分解因式
(a<n+2> -a<n>)(a<n+2> + a<n> - 4a<n+1>) = 0

a<n+2> - a<n> ≠ 0 （根据 已知条件 直接判断出）
所以
a<n+2> + a<n> - 4a<n+1> = 0

设 a<n+2> - xa<n-1> = y(a<n-1> - xa<n-2>)
这个式子 与 a<n+2> + a<n> - 4a<n+1> = 0 对比，推出
xy =1
x+y =4
解此方程
x = 2 + √3
y = 2 - √3<