求解几道一元二次方程整数解问题

1 2m^2+n^2+3m+n-1=0
2m^2+3m+1+n^2+n-2=0
(m+1)(2m+1)+(n+2)(n-1)=0
因为m、n为整数，所以(m+1)(2m+1)大于等于0
当n=-2或1时，(n+2)(n-1)=0 此时要等式成立，则(m+1)(2m+1)=0，因为m是整数所以m=-1

当n=-1或0时，(n+2)(n-1)=-2此时要等式成立，则(m+1)(2m+1)=2 2m^2+3m-1=0,此时m的解不是整数，不符合题意。

当n<-2或n>1时，(n+2)(n-1)〉0 此时等式不成立
（因为一个大于0的数和一个大于等于零的数和不可能为0）

综上所述m=-1,n=-2或m=-1,n=1

2 rx^2-(2r+7)x+(r+7)=0
(rx-(r+7))(x-1)=1
x=1,或x=(r+7)/r=1+7/r
因为x是正整数，且r为整数
所以r=1,或7

3 把原方程变换一下
n = ( x*x + 10mx +3 ) / 5
设存在整数根，即x为整数时可以使上式成立。
由于n是整数，必须要求 x*x + 10mx +3 的个位数是0或者5（即被5除尽），而m与x均为整数，10mx的个位数必定是0，则要求x*x的个位数是2或者7。但是x*x是完全平方数，完全平方数的个位数只可能是0,1,4,5,6,9. 不可能是2或者7，所以这时x不可能为整数。这与当前假设x为整数是矛盾的。所以不可能存在整数根。

1. 配平方为(4m+3)^2+2(2n+1)^2=19
19表为a^2+2b^2型唯一为1^2+2·3^2,故
4m+3=±1，∴m=-1
2n+1=±3, ∴n=1或-2
2. 同意liuljls,不过应该是(rx-r-7)(x-1)=0,而不是1,显然是笔误.
3. 证明:两边模5取余得 x^2+3≡0（mod5),即x^2≡2（mod5),无解.

同意liuljls 的答案

光明中学九