数解学题目

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 23:07:52
已知函数f(x)对一切x,y都属于R都有f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证；f(x)是奇数 (2)若f(-3)=a,用a表示F(12)

∵ f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)=2f(0) ∴f(0)=0
∵ f(x - x)=f(x)+f(-x) ∴f(x)+f(-x)=0 ∴f(x)=-f(-x)
根据以上得出f(x)是奇函数

∵f(-3)=a且f(x)是奇函数 ∴f(3)=-a
∴f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)=-4a
∴f(12)=-4a

令x=y=0
f(0+0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
再令y=-x
f(x-x)=f(x)+f(-x)
所以f(-x)=-f(x)
所以为奇函数

(2)f(12)=f(3+9)
=f(3)+f(3+6)
=f(3)*2+f(3+3)
=4*f(3)
=-4*f(-3)
=-4a