高二数学题，进来看看把！

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/20 00:45:15
给定双曲线x^2-y^2/2=1,过点B(1,1)能否作直线l与所给曲线交于Q1和Q2两点，且点B(1,1)是线段Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。

1）设直线方程为y-1=k(x-2)，其中k为斜率。
分情况讨论，当k不存在时，即直线为x=2时，中点为(2,0)。
当k存在时，将直线方程代入双曲线得，x^2-[k(x-2)+1]^2/2=1，再利用韦达定理可求出线段中点的横坐标关于k的表达式，再代入y-1=k(x-2)可求得中点纵坐标关于k的表达式。由此可得中点轨迹的参数方程。此方法相比其他方法无需分情况讨论（一般分情况讨论的话分成两种情况，其一是该直线与双曲线右半支有两个交点，其二是该直线与双曲线左右半支各有一个交点），节约时间，不易出错，但若想将参数方程化成一般方程的形式则比较困难，在考试时可略作取舍。
（2）此题也可使用第（1）小题的解法，只需判断是否可解出k，若不行，则上述命题不成立，反之则成立。