求最短值

做一个等腰直角三角形，ABC,直角为A，定点为D,动点为P。
取BC终点为M，连接AM，则AM垂直于BC.延长AM至点E，使AM=ME，连接DE交BC于N，当P与N重合，DP+PE=DP+AP=AE
知角DAE=45°AD=2,AE易得8根号2

解三角形得
AE=10

即所求最短距离为10

设此三角形是三角形ABC，角C是直角
将此三角形放入X－Y坐标系中的第一象限内，C点与原点重合，所以，定点座标为（0，2）或者（2，0）
设动点坐标为（X，Y）
所以，直角处出发到动点的距离加上动点到定点的距离为：
根号下（X^2+Y^2)+根号下[(X-2)^2+Y^2]
由于X^2+Y^2>0、[(X-2)^2+Y^2]>0
所以求“根号下（X^2+Y^2)+根号下[(X-2)^2+Y^2]”的最小值就相当于求“（X^2+Y^2)+[(X-2)^2+Y^2]”的最小值
因为
（X^2+Y^2)+[(X-2)^2+Y^2]
＝2*〔（X－1/2）^2+7/4]+2Y^2
所以，当X＝1/2，Y＝0时，上式有最小值，
将X、Y的值代入“根号下（X^2+Y^2)+根号下[(X-2)^2+Y^2]”
可知，
最小距离＝根号下（X^2+Y^2)+根号下[(X-2)^2+Y^2]
＝2
也就是说，当动点坐标为（1/2，0）或者（0，1/2）时，直角处出发到动点的距离加上动点到定点的距离有最短值，数值是2

根据题意得出如下题目，请看
在RTΔABC中，∠ABC=90°，AB=BC=8，
BD=2，E为斜边上的动点，连结BE、DE，求BE+DE的最小值？

解：做B点关于AC的对称点F，则BF⊥AC，BO=FO
∵BO=FO OE=OE ∠BOE=∠FOE=90°
∴ΔBOE≌ΔFOE
∴BE=EF
∴BE+DE=EF+DE
要求BE+DE的最小值，只要求出EF+DE的最小值就可以了
根据两点之间，