若一个自然数的立方的末三位数字为999，则称这样的自然数为“千禧数”，求最小的“千禧数”。

设n是“千禧数”，则n^3+1可被1000整除，
n^3+1=(n+1)(n^2-n+1).
n^2-n+1总是奇数。
此外，n^2-n+1总不是5的倍数.因为：
n=5m时，n^2-n+1=25m^2-5m+1,除以5的余数为1，
n=5m+1时，n^2-n+1=25m^2+10m+1-5m-1+1,除以5的余数为1，
n=5m+2时，n^2-n+1=25m^2+20m+4-5m-2+1,除以5的余数为3，
n=5m+3时，n^2-n+1=25m^2+30m+9-5m-3+1,除以5的余数为2，
n=5m+4时，n^2-n+1=25m^2+40m+16-5m-4+1,除以5的余数为3.
所以，n+1是100的倍数，最小的“千禧数”是999.