自然数的加法交换律能证明出来吗，还是说是个公理

皮亚诺自然数的加法交换律是需要证明的。同样加法结合律也是需要证明的。下面先证明结合律：加法定义：（1）任意的a∈N，有a+0=a；（2）任意的a，b∈N，有a+b*=（a+b）*。其中b*为b的后继。
证明结合律：设a，b是任意给定的两个自然数，令集合M{c|（a+b）+c=a+(b+c)∧c∈N}，由于（a+b）+0=（a+b）=a+b=a+（b+0）定义1，所以0∈M。若c∈M，即（a+b）+c=a+(b+c)，那么（a+b）+c*=（（a+b）+c）*=（a+（b+c））*=a+（b+c*），于是c*∈M。根据归纳公理，M=N。再由a，b的任意性知（a+b）+c=a+（b+c）毕。
证明交换律：首先由定义知，对于任意的a∈N，有0+a=a。下面先简要给出证明<当a=0时，0+0=0定义。设当a=n时有0+n=n，则a=n*时，0+n*=（0+n）*定义，即0+n*=n*，所以根据归纳定义知 a∈N都有 0+a=a>。另外对于任意a∈N，有1+a=a*。<a=0时，1+0=1=0*，设a=n时有1+n=n*，则 1+n*=（1+n）*=（n*）*，即a=n*成立，故对于任意a∈N，有1+a=a*。下面根据这两个结果证明交换律：有上面结果b=0时有，a+0=0+a，设a+b=b+a成立，那么a+b*=（a+b）*=（b+a）*=b+a*=b+（1+a）上面结果=（b+1）+a=b*+a 即 a+b*=b*+a，由归纳定义和a，b的任意性知：a+b=b+a 毕。

加法交换律是实数集的一条公理。
只有满足加法交换律，这个集合才能叫做实数集。
自然数集是实数集的子集，当然满足交换律。
参考http://baike.baidu.com/view/587296.htm

数理逻辑用的是另一套方案，那套东西和纯数学相比，是做了很多替换和简化的。逻辑学和数学是两个单独的学科。
事实上，数学上所谓“显然”的东西（但是不是数学家自己假设的东西），例如等量加等量和相等，在逻辑学上都能并且