求助:证明能够从一个公差为非零的无穷等差数列{An}中

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/29 17:32:13
证明能够从一个公差为非零的无穷等差数列{An}中,按序号依次找出一个无穷等比数列的充要条件是:等差数列{An1},{An2}(n1>n2),使An2/An1为正整数.

证明：必要性显然，现证明充分性：
不妨设An的通项公式为 An = a + n*d (n>=0)
若存在n2>n1>=0使得 An2/An1 = p 为正整数，即
An2 = p*An1
a + n2*d = p*(a+n1*d)
即 n2*d = p*a +n1*d*p - a
即 n2 =n1*p +a*(p-1)/d
从而： a*(p-1)/d = n1*p - n2 为整数
现在我们取{1，2，3.。。}的一个子序列{nk},其中：
n1 = n1, n2 = n2(就是题目中的n1,n2)
n(k+1) = n(k)*p + a*(p-1)/d (k>=2)
由上面的推理知： An(k+1) / An(k) = p
即 {An}存在一个子列{ An(k)}为等比数列
证毕