一个六位数能被9，11整除，去掉首尾两数字是1997，求这个六位数

解：设此六位数为a1997b，由一个数被9整除的条件得a+1+9+9+7+b=26+a+b能被9整除
所以a+b除以9的余数是1
由一个数被11整除的条件得b-7+9-9+1-a=b-a-6能被11整除,所以b-a-6=-11或b-a-6=0
所以b-a=-5或b-a=6
因为a+b除以9余1，所以a+b=1或a+b=10,由a+b=1得a=1,b=0这时这个六位数不能被11整除，所以a+b=10
由b-a=-5得a=7.5(不合题意）故b-a=6,又a+b=10
所以b=8,a=2
即219978

219978

设为a1997b
a+1+9+9+7+b=26+a+b是9的倍数 a+b=1或a+b=10
一个六位数能被11整除 a+9+7-9-1-b=a+6-b是11的倍数
a+b明显不等于1
a+b和a+6-b同奇同偶 a+6-b=0
a=2 b=8

这里涉及到整数被另一个整数整除时应该满足说明条件，比如一个整数能被3整除，这个整数的每位数上的数字相加能被3整除。

这里我们先设首位为数字x（x属于1-9），末尾为数字y（y属于0-9）。若这个六位数能被9整除，每位数的数字相加能被9整除（我举个例子，比如786，786=7×100＋8×10＋6=7×（11×9+1）+8×（1×9+1)+6=7×11×9＋7＋8×9＋8＋6,显然除以9等于7+8+6除以9，具体的要用到同模，属于初等数论的内容），所以x+1+9+9+7+y=9n，则x+y+8=9k（k表整数，只能取1或者2，因为x，y都小于等于9）这是第一式。

若这个整数也能被11整除（我同样举个例子，如213，由211=200+13=（11×9＋1）×2＋13，显然只要能被2+13整除即可）10×x＋90＋70＋y＋9＋1=11m，则10x+y+5=11p（p表整数，取2到8之间的数）这是第二式。

我们在用一式可能的取值验证第二式即可，我不具体说明。
其结果是219978（只有这一个）

219978