高二物理关于动量守恒的问题

这道题应该用机械能守恒解决：
设地面机械能为零。
初始状态下：动能为零，势能为：
m/2×2Lg+(m/2)×(3Lg/2)=7mgL/4
末状态下：
势能为L/2×mg+E动
即7mgL/4=mgL/2+E动
解得，E动=5mgL/4
即mV^2/2=5mgL/4,解得V=根号下（2.5gL）

这道题还是相当的麻烦的，说实话不会。
关键的难点是，绳子下落到题中的终态时，其质心在哪里。
当绳子从初态被释放之后，开始一段时间，上段的水平速度的速率与下段的垂直速率是相等的，并不断增加，这个速率u与下落高度z的关系可以由方程：
(1/2)(λL)*u^2=λzgz/2+(λgL/2)z;
得到
u=[g(z^2/L+z)]^0.5;
而绳子整体的水平动量为
Px=λ(L/2-z)u=λ(L/2-z)[g(z^2/L+z)]^0.5;
可以看出此表达式有一个最大值，为
z=(L/4)*(3^0.5-1)
即是说按这一模型来考虑的话，绳子整体的横向动量会变小，这需要桌子给绳子施加一个与运动方向相反的力，这显然不可能，所以实际的情况就是绳子在下落了这么多之后，横向动量达到极大值并脱离桌子边沿被甩开了。此后的运动没太想清楚，但是鉴于脱离一瞬间上段只有水平速度，下段只有垂直速度，感觉上会发生相对质心的转动，如此一来绳子落地时会与地面有一角度，则真正的势能转换就比较复杂了。